La Théorie quantique des champs est à la base d'une partie notable des développements théoriques en physique de la
2è moitié du 20è siècle. Elle a permis la construction d'un modèle qui décrit toutes les interactions fondamentales à
l'échelle microscopique en dehors de la gravitation. Elle a permis de comprendre les propriétés singulières d'une large
classe de transitions de phase de la physique macroscopique au voisinage de la transition.
Cependant, à la différence de la mécanique newtonienne ou quantique non relativiste, la théorie quantique des champs
dans sa formulation la plus directe pose problème à cause de l'apparition d'infinis dans le calcul des observables physiques.
Le problème des infinis a été résolu de façon empirique par une méthode appelée renormalisation. Cette méthode n'a trouvé
une interprétation satisfaisante que dans le cadre du groupe de renormalisation. Le problème des infinis a ainsi été relié
à un phénomène très surprenant, le non-découplage des différentes échelles de physique.
C'est dans le cadre de la physique statistique et des transitions de phase continues que la discussion de ces problèmes
est la plus simple. Ces notes tentent donc d'introduire de façon élémentaire les notions de limite continue et d'universalité
dans les systèmes stochastiques à un grand nombre de degrés de liberté. Nous insisterons sur l'importance des mesures
gausiennes et leurs relations avec l'approximation de champ moyen, et la théorie de Landau. Nous montrerons que les
approximations quasi-gaussiennes ou de champ moyen ne peuvent pas décrire correctement les transitions de phase.
Nous attribuerons cette difficulté au couplage d'échelles de physique très différentes. Pour analyser ce problème un
concept nouveau est nécessaire: le groupe de renormalisation, dont les points fixes permettent de comprendre
l'universalité au-delà du champ moyen.
Les arguments de groupe de renormalisation conduisent alors à l'idée que les corrélations à grande distance près de
la température de transition peuvent être décrites par une théorie statistique des champs, formellement une théorie
quantique des champs en temps imaginaire.
Après une courte introduction, nous exhiberons donc différentes formes des équations de groupe de renormalisation
dans le cadre. Nous les résoudrons dans différentes limites, près des dimensions 4 et 2, pour des champs à grand
nombre de composantes.
Enfin nous étudirons une réalisation particulière du groupe de renormalisation, dite groupe de renormalisation
fonctionnel (aussi appelé exact). |
