Institut de recherche sur les lois fondamentales de l'Univers

On étudie formellement et numériquement l'équivalence entre l'équation de Schrödinger (utilisée en mécanique quantique non relativiste) et l'équation de la diffusion critique (utilisée notamment en théorie du transport des neutrons).

Formal and numerical study of the equivalence between the Schrödinger equation used in non relativistic quantum mechanics and a critical diffusion equation (used noticeably in neutron transport theory).

L'étude des marches aléatoires branchantes permet de décrire de nombreux phénomènes tels que la propagation des épidémies, la transmission génétique au sein de populations, ou le transport des neutrons dans les milieux fissiles pour n'en citer que quelques-uns. Dans ce dernier domaine par exemple, des travaux récents ont montré que des structures spatiales (phénomène de "clustering") pouvaient émerger au sein de la population de neutron présente dans un réacteur nucléaire [1], que l'on caractérise à l'aide de la fonction de corrélation spatiale (ou fonction à deux points).

Dans ce stage, on se propose d'explorer les similitudes entre la mécanique quantique (équation de la diffusion à temps complexe) et la neutronique (équation de la diffusion critique à temps réel). En effet, certains codes numériques permettant de calculer l'état fondamental de systèmes quantiques (Diffusion Monte Carlo [2]) sont très proches des codes de neutroniques permettant de calculer la distribution d'un gaz de neutron en réacteur (Monte Carlo Criticality Codes). On formalisera cette proximité par l'étude d'un changement de variable reliant les deux équations, en on en profitera pour généraliser la méthode au calcul des états excités des systèmes quantiques. Ces travaux formels seront appuyés numériquement par des développements informatiques ad hoc dans un code Monte-Carlo simplifié. Ils permettront notamment de réaliser une analyse spectrale de quelques configurations simples (calcul des états quantiques de l'ion H+ ou du dihydrogène) qui confirmeront la validité de cette approche. Des perspectives seront ouvertes quant à son extension aux états non stationnaires (Monte Carlo Quantum Dynamics) ou à l'étude du lien entre théorie quantique des champs et théorie statistique des champs pour les processus de réaction-diffusion [3,4].

Le candidat recherché doit être en dernière année d'école d'ingénieur ou en master recherche de physique théorique, de physique fondamentale ou de neutronique. Il doit avoir des connaissances de base en modélisation mathématique et en physique statistique (ex: probabilités, calcul stochastique, marches aléatoires, transitions de phase) et être capable de réaliser des développements informatiques en C++ ou en Python.

Ce travail sera basé sur le centre de Saclay du CEA (Orme des Merisiers).

[1] E. Dumonteil et al. Nature Commun Phys 4, 151 (2021).
[2] https://arxiv.org/abs/physics/9702023
[3] M. Doi, J. Phys. A: Math. Gen. 9, 1465 (1976).
[4] L. Peliti, J. Phys. (Paris) 46, 1469 (1985).

The study of branching random walks allows to describe many phenomena such as the propagation of epidemics, genetic transmission within populations, or neutron transport in fissile media, just to name a few. In this last field, for example, recent works have shown that spatial structures (clustering phenomenon) can emerge within the neutron population present in a nuclear reactor [1], which can be characterized using the spatial correlation function (or two-point function).

In this internship, we propose to explore the similarities between quantum mechanics (complex time diffusion equation) and neutronics (real time critical diffusion equation). Indeed, some numerical codes allowing to compute the ground state of quantum systems (Diffusion Monte Carlo [2]) are very close to neutronics codes allowing to compute the distribution of a neutron gas in a reactor (Monte Carlo Criticality Codes). We will formalize this proximity by studying a change of variable linking the two equations, and we will take advantage of this to generalize the method to the calculation of excited states of quantum systems. This formal work will be supported numerically by ad hoc computer developments in a simplified Monte-Carlo code. In particular, they will allow to perform a spectral analysis of some simple configurations (calculation of the quantum states of the H+ ion or of dihydrogen) which will confirm the validity of this approach. Prospects will be opened for its extension to non-stationary states (Monte Carlo Quantum Dynamics) or for the study of the link between quantum field theory and statistical field theory for reaction-diffusion processes [3,4].

The candidate must be in the last year of engineering school or in a research master (theoretical physics, fundamental physics or neutron transport theory). He/she must have basic knowledge in mathematical modeling and statistical physics (e.g. probabilities, stochastic calculus, random walks, phase transitions) and be able to develop software in C++ or Python.

This work will be based at the CEA Saclay center (Orme des Merisiers).

[1] E. Dumonteil et al. Nature Commun Phys 4, 151 (2021).
[2] https://arxiv.org/abs/physics/9702023
[3] M. Doi, J. Phys. A: Math. Gen. 9, 1465 (1976).
[4] L. Peliti, J. Phys. 46, 1469 (1985).

Neutronique, physique statistique, marches aléatoires, processus branchants

Neutron transport theory, statistical physics, random walks, branching processes

Equation de la diffusion critique Analyse spectrale Simulation Monte Carlo de marches aléatoires branchantes Monte Carlo diffusif

Critical diffusion equation Spectral analysis Monte Carlo simulation of branching random walks Diffusion Monte Carlo

C++ Python Notebook Jupyter