Département de Physique Nucléaire

Mouvement Brownien branchant et transition de phase

Vue de loin, la marche aléatoire des neutrons suit un mouvement Brownien, en ce qu'elle obéit à l'équation de la diffusion. Les trajectoires caractéristiques sont erratiques et bruitées (voir Figure 1.a) : les mathématiciens les qualifient de continues en tous points mais dérivables nulle part. Les réacteurs nucléaires de puissance sont d'ailleurs pilotés à l'aide de cette équation (pour être plus précis à l'aide de l'équation de la diffusion à deux groupes d'énergies : une équation pour décrire le transport des neutrons rapides, et une autre pour les neutrons plus lents, dits thermiques). Dans ce cadre, le comportement de la population des neutrons dans un réacteur est ainsi très fidèlement modélisé.

Cependant, quand la puissance dans le réacteur est stationnaire, l'étude de la réaction en chaîne s'avère plus délicate. On qualifie la diffusion des neutrons de "critique" car dans ces conditions un neutron donne précisément naissance, en moyenne, à un autre neutron au cours de sa vie, mais chaque interaction d'un neutron avec un noyau lourd peut potentiellement donner naissance à plusieurs neutrons "fils", occasionnant un branchement des trajectoires. L'étude du mouvement Brownien branchant (abrégé BBM en anglais), représenté Figure 1.b, ayant permis il y a quelques années de comprendre la phase d'amorce des épidémies [1], des modèles similaires ont alors été utilisés en neutronique pour caractériser les fluctuations statistiques du gaz de neutrons. Celles-ci peuvent se développer au point que ce dernier ne suit plus du tout les mêmes lois que celle de la diffusion simple : on parle de transition de phase. Dans cette "phase" en effet, la population totale des neutrons peut, en théorie, s'éteindre ou devenir bien plus grande que prévue et donner ipso facto lieu à une augmentation non négligeable de la puissance du réacteur. En théorie seulement, car en pratique, des travaux récents ont montré que le nombre total de neutrons dans le réacteur fluctuait très peu [2,3]. Cette surprenante stabilité trouve son origine dans l'effet de température : plus la puissance (ie le nombre de neutrons) est localement élevée, plus la température est élevée, et plus les neutrons ont tendance à être capturés par le milieu plutôt qu'à induire des fissions. Cette contre réaction est due à l'élargissement des résonances neutroniques qui deviennent littéralement des pièges à neutrons.

Les résultats de leurs travaux, publiés dans la revue Physical Review E [4], ont fait apparaître des conclusions relativement surprenantes : l'équation de la diffusion critique caractérisant la population neutronique devient, en présence de contre réactions, une équation dite de super-diffusion, où le terme diffusif habituellement donné par une dérivée spatiale d'ordre 2 en espace prend alors une valeur non-entière , légèrement inférieure à 2! Le générateur microscopique de cette équation (qui décrit les lois du transport des neutrons) n'est plus un mouvement Brownien mais une marche aléatoire de Lévy : les trajectoires semblent très proches de celles du mouvement Brownien à l'exception de certains "sauts" projetant les neutrons à distance de leur position initiale (voir Figure 1.c). Ainsi, la distribution spatiale de la puissance dans le réacteur est légèrement modifiée (de quelques pourcents), comme indiqué par la Figure 2 où le résultat de la super-diffusion apparaît en pointillés et est comparé à celui de la diffusion simple. A peu près du même ordre de grandeur que la précision attendue des codes de calculs utilisés dans les contextes d'étude de sûreté nucléaire... Il semble donc que la balle de la sûreté soit à présent dans le camp des numériciens !